тетрикс

тетрикс

Сјерпињска пирамида заснована на квадрату и њена 'инверзна'

Сјерпињски тетраедар или тетрикс је тродимензионално аналогија троугла Сјерпињског, формирана у више наврата смањујући редовне тетраедре до једне половине првобитне висине, стављајући заједно четири копије овог тетраедра са додиривањем угловима, а затим поновити процес. Ово се може урадити са квадратном пирамидом и пет примерака. Тетрик конструисан од почетног тетраедра од стране дужине L има својство да укупна површина остаје константна са сваким понављањем.

Сјерпињска пирамида заснована на квадрату и њена 'инверзна'.

Почетни површина (верзија-0) тетраедар споредних дужина L је ${\displaystyle L^{2}{\sqrt {3}}}L^{2}{\sqrt {3}}$. На следећој верзији, страна дужине је преполовљена

${\displaystyle L\rightarrow {L \over 2}}L\rightarrow {L \over 2}$

и постоје 4 таква мања тетраедра. Стога, укупна површина након прве верзије је:

${\displaystyle 4\left(\left({L \over 2}\right)^{2}{\sqrt {3}}\right)=4{{L^{2}} \over 4}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}.}4\left(\left({L \over 2}\right)^{2}{\sqrt {3}}\right)=4{{L^{2}} \over 4}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}$.

Ово остаје случај након сваког понављања. Иако је површина сваког следећег тетраедра 1/4 свих тетраедара у претходним понављањима, постоји 4 пута више-чиме се одржава константна укупна површина.

Укупан затворени волумен, међутим, геометријски се смањује (фактор 0,5) са сваким понављањем и асимптотски тежи 0 како се број итерација повећава. У ствари, може се показати да, иако имају фиксирану површину, немају 3-димензионални карактер. Хаусдорофова димензија такве конструкције је $ln4/ln2=2$ која се слаже са коначном области са слике (А Хаусдорфова димензија строго између 2. и 3. би указивала 0 волумен и бескрајно подручје.)

Погледајте такође

Троугао Сјерпињског

153 351 531